quelque conseil pour les probabilités

من طرف زائر السبت مايو 29, 2010 2:30 pm

I. Face à un exercice de probabilités
Commencer par bien lire l'énoncé.
Certaines expressions permettent de traduire tout de suite l'hypothèse d'équiprobabilité («au hasard»«dé non pipé», «boules indiscernables», ...).
La formulation du problème conduit souvent à un schéma (arbre, tableau, ...) qui traduit la situation et aide à résoudre l'exercice.
Certains énoncés utilisent des données statistiques qui peuvent être traduites en termes probabilistes (par exemple, 25 % correspond à une probabilité de ).

II. Méthodes classiques
Un événement complexe peut se traduire comme la réunion de plusieurs événements incompatibles plus simples : on est alors amené à calculer la probabilité de chacun de ces événements, et à utiliser la propriété suivante :
Si A et B sont incompatibles, alors p(A B) = p(A) + p(B).
Utiliser la propriété suivante :
p( ) = 1 - p(A)
lorsque le calcul de p( ) est plus simple (c'est-à-dire conduit à moins de cas) que celui de p(A) ;
par exemple, lorsque A se traduit par «au moins un...», se traduit par «aucun».

III. Règles à ne pas oublier
Toute probabilité est comprise entre 0 et 1.
La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1 (n'est jamais mentionné dans l'énoncé, mais doit toujours être présent à l'esprit).
Vérifier la cohérence des résultats vis-à-vis des données de l'exercice et ne pas négliger l'intuition ; par exemple, une population peu représentée conduira en général à une probabilité faible.

I. Evénements
On considère une expérience (par exemple le jet d'un dé). L'ensemble de tous les résultats possibles est supposé fini et noté U.
(dans l'exemple, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
1. Evénement
Définition
C'est l'ensemble de tous les résultats caractérisés par une même propriété lors d'une expérience.C'est une partie A de U.

Exemple : le numéro sorti lors d'un jet d'un dé est pair : A = {2, 4, 6}.

2. Evénement élémentaire
Définition
C'est l'événement constitué d'un seul résultat. C'est un singleton.

Exemple : Les événements élémentaires du jet d'un dé sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

3. Intersection de deux événements A et B
Définition
C'est l'événement constitué des résultats communs aux événements A et B. C'est la partie A B.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre pair et B à l'obtention d'un multiple de 3, alors :
A B = {6}.

Remarque : repérer les « et » dans le texte. Ils caractérisent l'intersection.

4. Evénements incompatibles (ou disjoints)
Définition
Deux événements sont incompatibles si ils n'ont aucun résultat en commun, ce qui correspond à A B = Ø.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et B à l'obtention d'un multiple de 4, alors A et B sont incompatibles.

5. Réunion de deux événements
Définition
C'est l'événement constitué des résultats de l'événement A ou de l'événement B. C'est la partie A B.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair et B à l'obtention d'un numéro supérieur ou égal à 3, alors : A B = {2, 3, 4, 5, 6}.

Remarques :
Ne pas confondre A B, caractérisé par « ou », et A B, caractérisé par « et ».
A B contient A B.

6. Evénement contraire de A
Définition
C'est l'événement constitué des résultats n'appartenant pas à A.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair, alors l'événement contraire de A est :
{1, 3, 5} (obtention d'un numéro impair).

II. Probabilités
Lors d'une expérience, on cherche à mesurer par un réel la chance d'obtenir telle ou telle propriété caractérisant un événement. Lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois, ce réel peut être la fréquence de l'événement.

1. Définition
La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires composant A.
On note p(A) cette probabilité.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et si tous les numéros ont la même chance d'apparaître, alors :
p(A) = p({1}) + p({3}) + p({5}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.

2. Propriétés
Propriété 1
p( )= 0, p(U) = 1 et pour tout événement, 0 p(A) 1.
Remarque : Ne jamais écrire une probabilité plus grande que 1.

Propriété 2
Si A et B sont incompatibles, alors p(A B) = p(A) + p(B).

Remarques :
Cette propriété entraîne que si A C, alors p(A) p(C).
Si A et B sont incompatibles lorsque l'appartenance à A B se traduit par l'appartenance à A « ou bien » à B.

Propriété 3
Si A et B sont quelconques, alors : p(A B)= p(A) + p(B) - p(A B).

Propriété 4
p(événement contraire de A) = 1 - p(A).

3. Equiprobabilité
Définition
On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Remarque :
Cela correspond à une expérience où n'intervient que le hasard (dé non pipé, boules indiscernables,...).

Propriétés :
Dans le cas d'équiprobabilité p(A) =(nombre de résultats dans A) / (nombre total de résultats).

Remarque :
Avant d'appliquer cette formule, ne pas oublier de signaler l'équiprobabilité et l'expression du texte qui la justifie.